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> 线性算子
"线性算子"相关考试题目
1.
设A及B是定义在llibert空X上的两个线性算子,满足 <Ax,y>=<x,By><x,by> 其中x,y为X中任意向量,证明A是有界算子。
2.
设A是ι2上线性算子,记en=, 其中<∞,证明A是全连续的。
3.
设<∞在ι1上定义算子T:y=Tx,其中x={ξk},y={ηk},ηk=αkηk(k=1,2,...),证明T是ι1上的有界线性算子并且T=
4.
设X是可分的Banach空间,证明存在满的有界线性算子T:l1→X.
5.
设T为有界线性算子,且‖T‖≤1,证明 {x:Tx=x}={x:T * x=x}
6.
设{T n }是Banach空间X上的紧算子列并且强收敛于线性算子T,试举例说明T不必是紧算子.
7.
设X,Y是Banach空间,T:X→Y是线性算子并且对任意xn∈X,当xn→θ(n→∞)时,对于每一个f∈Y*有f(Txn)→0(n→∞).证明T是连续的.
8.
设T1是X1到X2的全连续算子,T2是X2到X3的有界线性算子,则T2T1是X1到X3的全连续算子
9.
设X,Y是Banach空间,若T映X到Y是闭线性算子,并且T的定义域是闭集,则T是有界线性算子。
10.
设α(·)是定义在[a,b]上的函数。令(Tx)(t)=α(t)x(t)(x∈C[a,b]),则T是由C[a,b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a,b]上连续。
11.
设 是 的有界线性算子,则 与平移可交换的充要条件 , . ( )
12.
设{Tn}是Banach空间X上的紧算子列并且强收敛于线性算子T,试举例说明T不必是紧算子.
13.
设X是Banach空间,线性算子P是幂等的,并且其核空间与值域都是闭集,则它是()
14.
设X,y为赋范空间,F:X→Y为线性算子。若y'∈Y',定义F'(y'): 为 F'(y')(x)=y'(F(x)), x∈X 求证:
15.
证明:设H1,H2是Hilbert空间,T:D(T)H1→H2是线性算子,且T是单射.则T是可闭的当且仅当T-1是可闭的,并且有
16.
设X是自反的Banach空间.证明有界线性算子T:X→l1是紧算子,
17.
证明:从R2到R2的下列算子T1:(ξ1,ξ2)→(ξ1,0),T2:(ξ1,ξ2)→(0,ξ2),T3:(ξ1,ξ2)→(ξ2,ξ1),T4:(ξ1,ξ2)→(rξ1,rξ2)均是线性算子,并从几何上予以解释。
18.
设Xi和Yi(i=1,2)都是Banach空间,X=X1×X2,Y=Y1×Y2为积空间,设,线性算子T:X→Y定义为T(x1,x2)=(T1x1,T2x2),(x1,x2)∈X.证明:
19.
证明:设H是复Hilbert空间,T:D(T)H→H是稠定线性算子,则T是对称的当且仅当对任意x∈D(T),〈Tx,x〉是实的,
20.
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是稠定线性算子,证明:
21.
若T是从线性空间X到Y的有界线性算子,则T的核空间是X的一个闭线性子空间。
22.
设X为赋范空间,z∈X,f∈X'。求证:若T:X→X定义为 T(x)=f(x)z, x∈X。 则T为紧线性算子。
23.
设T为有界线性算子,且‖T‖≤1,证明{x:Tx=x}={x:T*x=x}
24.
证明:若T是Hilbert空间H中的稠定线性算子,则 ;若T是可闭的稠定线性算子,则 .
25.
设X,Y是Hausdorff拓扑线性空间,其中dim X<∞.证明:对任何线性算子T:X→Y,T都是连续的.
26.
设T为线性空间F[x]3上的线性算子,定义为T(f(x))=f(x+1)-f(x),,求T在F[x]3的基:1,x,x2,x3下的矩阵,并指出T的秩及T的零度.
27.
设T是赋范空间到赋范空间的线性算子,若T是无界的,则T一定定义在无限维赋范空间上
28.
设X为赋范空间,z∈X,f∈X'。求证:若T:X→X定义为T(x)=f(x)z,x∈X。 则T为紧线性算子。
29.
设线性算子T:C[0,1]→C[0,1]定义为Tx(t)=x(s)ds,证明T是紧算子,并求出σ(T).
30.
设1≤p≤∞,{an}是收敛于0的数列,线性算子T:lp→lp定义为T{xn}={anxn}.证明T是紧算子.
31.
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是自共轭线性算子且T是单射.证明:
32.
设X为赋范空间,z∈X,f∈X'。求证:若T:X→X定义为 T(x)=f(x)z, x∈X。 则T为紧线性算子。
33.
设T是Hilbert空间H上的有界线性算子,‖T‖≤1.证明: {x:Tx=x}={x:T * x=x}.
34.
设 是线性算子,且对于 满足 则 是 上的有界算子. ( )
35.
设T是复Hilbert空间H上的有界线性算子,证明T=θ的充要条件是对一切x∈H都有〈Tx,x〉=0.
36.
设X i 和Y i (i=1,2)都是Banach空间,X=X 1 ×X 2 ,Y=Y 1 ×Y 2 为积空间,设 ,线性算子T:X→Y定义为 T(x 1 ,x 2 )=(T 1 x 1 ,T 2 x 2 ), (x 1 ,x 2 )∈X. 证明:
37.
设{Tn}是Banach空间X上的紧算子列且强收敛于线性算子,试举例说明T未必是紧算子。
38.
设X,Y都是Banach空间,T:X→Y为线性算子.证明:T有界的充要条件是对任何,当时有.
39.
若X,Y是Banach空间,T是映X到Y的有界线性算子,并且它既是单射又是满射,则T的逆算子是一个有界线性算子
40.
连续线性算子一定是有界线性算子吗?( )
41.
设T是定义在巴拿赫空间E上的有界线性算子,α∈ρ(T),A=R(α,T)设μ,λ满足μ(α-β)=1,则μ∈σ(A)的充分必要条件是λ∈σ(T)。若μ∈ρ(A),且μ(α-β)=1,则
42.
设E都是赋范线性空间,L是E的闭子空间,对任何x∈E,令Φx=x+L.证明:Φ是由E到上有界线性算子且‖Φ‖≤1
43.
设H是Hilbert空间,T:D(T) H→H是自共轭线性算子且T是单射.证明:
44.
设X,Y是Banach空间,T:X→Y是线性算子并且对任意x n ∈X,当x n →θ(n→∞)时,对于每一个f∈Y * 有f(Tx n )→0(n→∞).证明T是连续的.
45.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群,f(t)=ln‖Tt‖.若存在a>0,f(t)在[0,α]上有界,证明.
46.
设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子.证明(ST) * T * S * ;若D(S)=H且S是有界的,证明(ST) * =T * S * .
47.
证明:设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是对称线性算子,则T是自共轭的当且仅当T是闭算子且
48.
设x是线性赋范空间,T是x→x的有界线性算子,若T既是单射又是满射,则T有逆算子。
49.
设x∈l 2 ,对n=1,2,…,设 求证:A:l 2 →l 2 为有界线性算子,但A不为紧算子。
50.
线性算子的有界性与连续性是等价的。