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> 紧算子
"紧算子"相关考试题目
1.
设E,E 1 均为巴拿赫空间, 若T * 是紧算子,则T'也是紧算子。
2.
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。求证:(a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。(b)若A为紧的,则A*为紧的。
3.
题目:正规紧算子λ-交换算子对和算子补问题
4.
设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证:若A与AA*可交换,则A为正规算子,且当A不为紧算子时,这个结论一般不成立。
5.
设H为Hilbert空间,S,T∈BL(H)。若T为紧的且(i)S*S≤T*T或(ii)SS*≤TT*,求证:S为紧算子。
6.
设X,Y为赋范空间,且X为无穷维的。设F:X→Y为线性算子且下有界,即存在α>0使得α‖x‖≤‖F(x)‖,x∈X(1)求证:F不为紧算子。由此推出无穷维赋范空间上的恒等算子不为紧算子。
7.
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。求证: (a)A为紧算子当且仅当A * A为紧算子。 (b)若A为紧的,则A * 为紧的。
8.
设A为Hilbert空间H上的紧算子,δ>0。求证:(a)设M为H的线性无关子集,且M中元都是满足k|>δ的特征值k所对应的特征向量。则M必为有限集。(b)若k为A的非零特征值,则其对应的特征空间必为有限维的。(c)A仅有可数个不同的特征值。
9.
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。求证:(a)A为紧算子当且仅当A*A为紧算子。(b)若A为紧的,则A*为紧的。
10.
举例说明存在有界线性但非紧的算子T使得T2是紧算子甚至是有限秩算子.
11.
设H为Hilbert空间,S,T∈BL(H)。若T为紧的且(i)S*S≤T*T或(ii)SS*≤TT*,求证:S为紧算子。
12.
设{α n }是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中 x={ξ n }, y={α n ξ n } 证明T是紧算子的充分必要条件是{α n }→0
13.
设X是复Banach空间,为紧算子.证明∈X/,使.
14.
下列算子在空间C[0,1]中是紧算子吗?(1)(2)(Tx)(t)= ∫01(ts+t2s2)x(s)ds;(3)
15.
设A为Hilbert空间H上的紧算子,δ>0。求证:(a)设M为H的线性无关子集,且M中元都是满足k|>δ的特征值k所对应的特征向量。则M必为有限集。(b)若k为A的非零特征值,则其对应的特征空间必为有限维的。(c)A仅有可数个不同的特征值。
16.
设{H n }是一列Hilbert空间, 满足 .令H= ,记 .证明:A是紧算子的充要条件是每个A n 是紧算子且‖A n ‖→0.
17.
设线性算子T:C[0,1]→C[0,1]定义为Tx(t)=x(s)ds,证明T是紧算子,并求出σ(T).
18.
设1≤p≤∞,{an}是收敛于0的数列,线性算子T:lp→lp定义为T{xn}={anxn}.证明T是紧算子.
19.
设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证:若A与AA*可交换,则A为正规算子,且当A不为紧算子时,这个结论一般不成立。
20.
设X=lp,1≤p≤∞,{αn}为一纯量列使得当n→∞时,αn→0。求证:算子A:X→XA(x)(n)=αnx(n),n≥1, x∈X为紧算子。
21.
设x∈l2,对n=1,2,…,设求证:A:l2→l2为有界线性算子,但A不为紧算子。
22.
设X是复Banach空间, ,g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子.又设σ(T)是不可数集.证明g在某点的邻域内必为常数函数.
23.
证明:按等式Jx=x定义的嵌入算子J:C1[a,b]→C[a,b]是紧算子。
24.
证明:无限维赋范线性空间X的单位算子I不是紧算子。
25.
设X是Banach空间,T是X上线性紧算子,g在中开圆盘Br={z∈:|z|<r}上解析,且g(0)=0,σ(T)Br.证明g(T)也是线性紧算子
26.
设{αn}是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中x={ξn},y={αnξn}证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
27.
设X=l p ,1≤p≤∞,{α n }为一纯量列使得当n→∞时,α n →0。求证:算子A:X→X A(x)(n)=α n x(n),n≥1, x∈X 为紧算子。
28.
设X是自反Banach空间,,又设对任意{xn}X当时有Txn→Tx(n→∞),证明T是紧算子.
29.
设H是复Hilbert空间, 为自共轭算子,{E λ }是T的谱系,ε>0,Ω ε ={λ∈σ(T):|λ|≥ε}.证明:T是紧算子当且仅当对任意的ε>0,有T ε = λdE λ 是有界的有限秩算子.
30.
设x∈l 2 ,对n=1,2,…,设 求证:A:l 2 →l 2 为有界线性算子,但A不为紧算子。