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"二次型"相关考试题目
1.
二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3的规范形为()。
2.
已知 二次型 的秩为2 则a= ; 二次型 的矩阵A= ; 矩阵A 的特征值为 = , = , = (特征值按照从小到大的顺序写);特征向量 = , = , = ;并 求正交矩阵Q= , 通过正交变换x=Qy 将二次型 化为标准形f( )= .
3.
成教云: 已知二次型的秩为2求C的值attachments/
4.
在正定二次型中,所有未知量平方项系数全为正.若二次型中所有未知量平方项系数全为正,则该二次型正定?
5.
用配方法将二次型化为标准形,所用的线性替换矩阵是( ).
6.
二次型 经非退化线性替换X=CY化为二次型 , 其中A,B 是对称矩阵,则A与B 等价
7.
下列二次型中,是标准形的为( )
8.
设二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2, (Ⅰ)求二次型f的秩; (Ⅱ)求正交变换Q,使二次型f化为标准形.
9.
二次型 是正定阵,则k满足条件
10.
用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所的结果:x21+x22+x23+x24+2x1x2+2x2x3+2x3x4.
11.
对任意给定的实二次型,能否找到正交变换化成标准型 ( )
12.
f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=X T AX的正惯性指数是2,且A 2 一2A=0,该二次型的规范形为___________.
13.
对于无约束求极小值问题\[ f(x_1 ,x_2 ) = x_1^2 - 2x_1 x_2 + 2x_2^2 - 4x_1 - 12x_2 \],可以使用命令quadprog进行求解,这里二次型矩阵H应该定义为( )。
14.
已知矩阵A=,则对应的二次型f(x1,x2,x3)=_________.
15.
设二次型f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 2 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换X=QY化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ,求参数a,b及正交矩阵Q.
16.
已知三元二次型x T Ax的平方项系数都为0,α=(1,2,-1) T 满足Aα=2α. 求x T Ax的表达式.
17.
若二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2λx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型,则λ的取值范围是_____.
18.
实二次型【图片】是()
19.
对二次型 ,下列结论不正确的是( )。
20.
若实3阶对称矩阵A的特征根为1,3,-2,则二次型X′AX的秩为 ;正惯性指数为 .
21.
二次型经过非退化线性替换后得新二次型,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
22.
考虑二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2-2x1x3+4x2x3,问λ取何值时,f为正定二次型.
23.
只含有变量的平方项的二次型称为二次型的标准形
24.
设二次型 矩阵A满足AB=0,其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换. (Ⅱ)判断矩阵A和B是否合同.
25.
实二次型`\f(x_1,x_2,x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2`的秩为 ( )
26.
二次型 的秩为 。
27.
下面不能用来判定是正定二次型的方法是:
28.
数域上的任意元二次多项式都是数域上的一个元二次型。
29.
设A为可逆的实对称矩阵,则二次型X T Ax与X T A —1 X( ).
30.
设二次型 求常数a;
31.
设5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一2x 1 x 3 一2x 2 x 3 为正定二次型,则t的取值范围是___________.
32.
二次型的规范形是不唯一的。
33.
如果两个二次型是等价的,则它们的矩阵一定合同。
34.
用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所的结果:-4x1x2+2x1x3+2x2x3
35.
任意一个二次型都可经过若干次非退化线性替换化成只含平方项的二次型。
36.
实二次型 ,则其正惯性指数=( )
37.
设是正定二次型,则满足________.
38.
设有n元二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an满足何种条件时,二次型f为正定二次型?
39.
设A是三阶实对称矩阵,λ=5是A的二重特征值.对应的特征向量为ξ1=[1,-1,2],ξ2=[1,2,1]T,则二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在X0=[1,5,0]T的值f(1,5,0)==______.
40.
设A为n阶实对称矩阵,B,C为n阶矩阵,已知(A-E)B=0,(A+2E)C=0,r(B) +r(C) =n,且r(B) =r,则二次型xTAx的标准形为______.
41.
设二次型f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 , 设 证明二次型f对应的矩阵为2αα T +ββ T ;
42.
设φ: 为 K上线性空间X上的共轭双线性泛函,又 q(x)=φ(x,x), x∈X 为γ诱导的二次型,求证: (a)2φ(x,y)+2φ(y,x)=q(x+y)-q(x-y) (b)若 ,则 4φ(x,y)=q(x+y)-q(x-y)+iq(x+iy)-iq(x-iy) (c)若 或 ,φ为对称的,则 4Reφ(x,y)=q(x+y)-q(x-y)
43.
设有n元二次型f(x 1 ,x 2 ,……x n )=(x 1 +a 1 x 2 ) 2 +(x 2 +a 2 x 3 ) 2 +…+(x n +a n x 1 ) 2 ,其中a i (i=1,2,…,n)为实数.试问当a 1 ,a 2 ,…,a n 满足何种条件时,二次型f(x 1 ,x 2 ,……x n )为正定二次型.
44.
任何实二次型都存在可逆变换将其化为标准形。
45.
已知二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY,下的标准形为-y21-y22,且Q的第三列为. 证明A-E为负定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.
46.
判别二次型f(x1,x2,x3)=2x21+5x22+4x23-2x1x2-6x2x3是否正定?说明理由.
47.
二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+6x22的矩阵为()。
48.
实二次型 f , g 具有相同的规范形,则 f 的正惯性指数 =g 的正惯性指数 .
49.
二次型的规范形是是唯一的。
50.
试将下列线性方程化成线性方程组,然后对方程组求二次型V函数V(x)=xTBx,使其通过方程组的全导数=-xTx,并判断函数V(x)的定号性: +6+9y=0。