向量数量积的运算题库 - 考试题库

【简答题】

[1/922]平面向量a=(x，y)， b=(x2，y2)， c=(1，1)， d=(2，2)，若 a• c= b• d=1，则这样的向量a有（　　） A．1个B．...

参考答案：

因为

a

=(x，y)，

b

=(x2，y2)，

c

=(1，1)，

d

=(2，2) ，并且

a

•

c

=

b

•

d

=1 ，
所以

a

•

c

=x+y=1，

b

•

d

=2x2+2y2=1 ，
所以由点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离为

2

=r，
所以直线与圆相切，即直线与圆只有一个交点，
所以向量

a

有1个．
故选A．

参考解析：

a

【简答题】

[2/922]已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|AB|=1，则AB•OA等于（　　） A．12B．-12C．32D．-32

参考答案：

A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|

AB

|=1，∴∠AOB=60°．
∴

AB

•

OA

=（

OB

-

OA

）

OA

=

OB

•

OA

-

OA

2=1×1cos60°-1=-

1

2

．
故选B．

参考解析：

AB

【简答题】

[3/922]已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=π2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若...

参考答案：

（1）依题意，设直线l：x+

3

y=

3

与椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁＞y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：

y1=0

y2=1

或

y1=

1

2

y2=

3

2

，
∴A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）或A（

3

，0），B（0，1），
又A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）不合题意，舍去．
∴A（

3

，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为

x2

3

+y²=1．
（2）由题意知M、N是椭圆

x2

3

+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（

cos2θ

3

+sin²θ）=1，r₂²（

sin2θ

3

+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（

1

r

21

+

1

r

22

）=2+

r

21

r

22

+

r

22

r

21

≥4，
从而|MN|²•

4

3

≥4，即|MN|≥

3

，
故所求|MN|的最小值为

3

．

参考解析：

3

【简答题】

[4/922]△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2 OA+ AB+ AC= 0，| OA|=| AB|，则CA• CB=______．

参考答案：

∵2

OA

+

AB

+

AC

=

0

，∴

OA

+

AB

+

OA

+AC

=

0

，∴

OB

=-

OC

．
∴O，B，C共线，BC为圆的直径，∴AB⊥AC．
∵|

OA

|=|

AB

|，∴|

OA

|=|

AB

|=1，|BC|=2，|AC|=

3

，故∠ACB=

π

6

．
则

CA

•

CB

=

3

×2cos

π

6

=3，
故答案为：3．

参考解析：

OA

【简答题】

[5/922]已知平行四边形OABC中（O为原点），【图片】=(2，1)，【图片】=(1，2)，则【图片】· 【图片】=（　　） A．0 B．2 C．4 D．...

参考答案：

A

参考解析：

无

【简答题】

[6/922]设【图片】是单位向量，且【图片】，则【图片】的值为（）．

参考答案：

参考解析：

无

【简答题】

[7/922]设a，b，c均为单位向量，且a⊥ b，则( a+ c)•( b+ c)的最小值为（　　） A．-1B．1- 2C．2-2D．-2

参考答案：

∵

a

，

b

，

c

均为单位向量，且

a

⊥

b

，
不妨设

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（cosθ，sinθ），
∴(

a

+

c

)•(

b

+

c

)=cosθ²+sinθ²+cosθ+sinθ=1+（cosθ+sinθ）=1+

2

sin（θ+

π

4

），
∵-1≤sin（θ+

π

4

）≤1，
∴1-

2

≤(

a

+

c

)•(

b

+

c

)≤1+

2

，
故选B．

参考解析：

a

【简答题】

[8/922]设点P为△ABC的重心，若AB=2，AC=4，则AP• BC=______．

参考答案：

AP

•

BC

=（

BA

+

AC

）•

AP

=（

BA

+

AC

）•

1

3

（

AB

+

AC

）
=

1

3

（

AC

2-

AB

2）
=

1

3

（16-4）
=4
故答案为：4

参考解析：

AP

【简答题】

[9/922]已知平面上三个向量|a|=|b|=|c|=2，它们之间的夹角都是120°．（I）求a•c的值．（II）求证：（a-b）⊥c．

参考答案：

（I）

a

•

c

=|

a

||

c

|cos120°=2×2×(-

1

2

)=-2
（II）∵（

a

-

b

）•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

=|

a

||

c

|cos120°-|

b

||

c

|cos120°
=2×2×(-

1

2

)-2×2×(-

1

2

)=0
∴（

a

-

b

）⊥

c

．

参考解析：

a

【简答题】

[10/922]如图所示，已知圆E：x2+（y﹣1）2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦M...

参考答案：

解：（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，﹣1），
又K_MN=2，
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x﹣y﹣1=0．
∵圆心到直线MN的距离为

，且r=2，
∴

．
（2）因为y_M+y_N=0，所以y_N=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，﹣1），N（±2，1）得
直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．
（3）易得

，
设P（x，y），则由PA

PB=PO²，得

，
化简得

①
由题意知点P在圆E内，所以x²+（y﹣1）²＜4，
结合①，4y²﹣4y﹣3＜0，
解得

．
从而

=

．

参考解析：

无