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双曲线的标准方程及图象题库
题数
420
考试分类
高中数学>双曲线的标准方程及图象
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简介
高中数学-双曲线的标准方程及图象
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/420]若双曲线焦点为（5，0），渐近线方程为y=± x2，则此双曲线的标准方程为______．
参考答案：
设双曲线的标准方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1 ，
则
c=
5
 
b
a
=
1
2
a2+b2=c2
，解得a=2，b=1，
所以双曲线的标准方程为
x2
4
-y2=1 ．
故答案为
x2
4
-y2 =1 ．
参考解析：
x2 a2
【简答题】
[2/420]双曲线 【图片】的一条渐近线方程是 【图片】，坐标原点到直线AB的距离为 【图片】，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；（2）若B...
参考答案：
解：（1）∵A（a，0），B（0，﹣b），
∴设直线AB：
∴，∴，
∴双曲线方程为：．
（2）∵双曲线方程为：，
∴，设P（x0，y0），
∴，，
∴==3．
B（0，﹣3）B1（0，3），
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∴设直线l：y=kx﹣3，
∴，
∴3x2﹣（kx﹣3）2=9．（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，
∴



k2=5，即代入（1）有解，
∴．
参考解析：
无
【简答题】
[3/420]双曲线与椭圆x227+ y236=1有相同焦点，且经过点（15，4），求其方程．
参考答案：
椭圆
y2
36
+
x2
27
=1 的焦点为（0，±3），c=3，…（3分）
设双曲线方程为
y2
a2
-
x2
9-a2
=1 ，…（6分）
∵过点（
15
，4），则
16
a2
-
15
9-a2
=1 ，…（9分）
得a2=4或36，而a2＜9，∴a2=4，…（11分）
双曲线方程为
y2
4
-
x2
5
=1 ．…（12分）
参考解析：
y236
【简答题】
[4/420]已知双曲线x2a2- y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），右焦点为F、O为坐标原点，点F，A到渐近线的距离之比为52，过点B（0，2...
参考答案：
（I）由题意，a=2
根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为
|OF|
|OA|
=
c
a
=
5
2
，
∴c=
5
，∴b=
c2-a2
=1
∴双曲线的方程为
x2
4
-y2=1
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠
1
4
且k2＜
5
4

解得-
5
2
＜k＜
5
2
且k≠±
1
2
；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
-16k
4k2-1
，
∵
OP
+
OQ
=（x1+x2，y1+y2），
AB
=（-2，2），
OP
+
OQ
与
AB
垂直
∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
∴（x1+x2）（k-1）+4=0
∴
-16k(k-1)
4k2-1
+4=0
∴k=
1
4

∴存在常数k=
1
4
，使得向量
OP
+
OQ
与
AB
垂直．
参考解析：
|OF||OA|
【简答题】
[5/420]中心在原点，有一条渐近线方程是2x+3y=0，对称轴为坐标轴，且过点（2，2）的双曲线方程是（　　） A． 【图片】 B． 【图片】 C． 【图片】 ...
参考答案：
C
参考解析：
无
【简答题】
[6/420]设动点P到两定点F1(-1，0 )和F2(1，0 ) 的距离分别为d1和d2，∠F1PF2=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2sin2θ=...
参考答案：
解：（1）在中，，
，
，
（小于2的常数），
故动点P的轨迹C是以为焦点，实轴长的双曲线，
方程为。
（2）在中，设，
假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，
则，
由⑤得，
，
，
，
故存在满足题设条件。
参考解析：
无
【简答题】
[7/420]设P为双曲线 【图片】上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是（    ）。
参考答案：
x2-4y2=1
参考解析：
无
【简答题】
[8/420]A村在C村正北3km处，B地在C村正西16km处，已知弧形公路PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km．（1）如图，以BC中点O为原点，建立坐标系，...
参考答案：
（1）（6分）以线段BC所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵PQ上任一点到B、C两点的距离之差为8km
由双曲线定义，PQ所在曲线为双曲线的右支，
B、C为焦点，c=8，a=4
∴b2=c2-a2=64-16=48，…（4分）
∴所求方程为：
x2
16
-
y2
48
=1 （x＞0）…（6分）（没有范围扣1分）
（2）（7分）依题意，即求2|MA|+|MC|的最小值…（1分）
由第二定义
|MC|
d
=e=
c
a
=
8
4
=2 （d为M到右准线的距离）
∴|MC|=2d，过A作AN垂直于右准线于N，
设t=2|MA|+|MC|=2（|MA|+d）≥2|AN|．则当M为AN与双曲线交点时，t最小…（3分）
∵A（8，
参考解析：
x216
【简答题】
[9/420]△ABC的顶点B（-4，0），C（4，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=1上，则顶点A的轨迹方程是______．
参考答案：
如图所示，|AB|-|AC|=|BD|-|CD|=4+1-（4-1）=2＜8=|BC|，
因此点A在以B，C两点为焦点，1为实半轴长的双曲线x2-
y2
15
=1（x＞1）上．
故答案为：x2-
y2
15
=1（x＞1）．
参考解析：
y215
【简答题】
[10/420]若双曲线经过点(3， 2)，且渐近线方程是y=± 13x，则这条双曲线的方程是______．
参考答案：
根据题意，双曲线的渐近线方程是y=±
1
3
x，
则可设双曲线的标准方程为
x2
9
-y2 =λ ，（λ≠0）；
又因为双曲线经过点(3，
2
)，
代入方程可得，λ=-1；
故这条双曲线的方程是y2-
x2
9
=1；
故答案为：y2-
x2
9
=1．
参考解析：
无
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