动点的轨迹方程题库 - 考试题库

【简答题】

[1/518]在直角坐标系xOy中，长为2+1的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，CP= 2PD．记点P的轨迹为曲线E．（I）求曲线E的方程；（II）经过点...

参考答案：

（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴x-m=-

2

x，y=

2

（n-y），
由|CD|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

(

2

+1)2

2

y2 =（

2

+1）²，
整理，得曲线E的方程为x²+

y2

2

=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

知点M坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
则x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由点M在曲线E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2)2

2

=1，
即（-

2k

k2+2

）²+

8

(k2+2)2

=1
解得k²=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（-

2k

k2+2

）+1=-

3

4

∴

OA

•

OB

=-

3

4

．

参考解析：

CP

【简答题】

[2/518]已知圆M：（x+1）2+y2=8，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，若Q在NP上，点G在MP上，且满足NP=2 NQ， GQ• NP=0．（I）求...

参考答案：

（I）∵

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=

0

∴|GP|=|GN|
∴|GM+|GN|=|GM|+|GP|=|MP|=2

2

∵|MN|=2
∴G是以M，N为焦点的椭圆
设曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 ，

2a=2

2

c=1

b2=a2-c2

得a²=2，b²=1
∴点G的轨迹C的方程为：

x2

2

+y2=1 （6分）
（II）由题意知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+2A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

y=kx+2

x2

2

+y2=1

得：（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点，
∴△＞0⇒k2＞

3

2

由根与系数关系得

x1+x2=-

8k

1+2k2

x1•x2=

6

1+2k2

S△AOB=

1

2

|PO||x1-x2|=

2

2k2-3

1+2k2

令m=

2k2-3

(m＞0)，则2k2=m2+3
∴S=

2

m

m 2+4

=

2

m+

4

m

≤

2

当且仅当m=

4

m

，即m=2时，Smax=

2

，此时k=±

14

2

∴所求的直线方程为±

14

x-2y+4=0（13分）

参考解析：

NP

【简答题】

[3/518]点P是以F1，F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M点，则点M的轨迹是（　　） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲...

参考答案：

D

参考解析：

无

【简答题】

[4/518]P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是（　　） A．直线 B...

参考答案：

B

参考解析：

无

【简答题】

[5/518]已知k＞0，直线l1：y=kx，l2：y=-kx．（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a＞0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的...

参考答案：

（1）证明：设点P（x，y）为动点，则

|y-kx|2

1+k2

+

|y+kx|2

1+k2

=a，
整理得

x2

(1+k2)a

2k2

+

y2

(1+k2)a

2

=1．
因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
（2）设点P（x，y）为动点，则
|y-kx|+|y+kx|=c

1+k2

．
当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c

1+k2

，即y=

1

2

c

1+k2

；
当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c

1+k2

，即y=-

1

2

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＞0时，kx-y+y+kx=c

1+k2

，即x=

1

2k

c

1+k2

；
当-k|x|＜y＜k|x|，x＜0时，y-kx-y-kx=c

1+k2

，即x=-

1

2k

c

1+k2

．
综上，动点的轨迹为矩形．

参考解析：

|y-kx |21+ k2

【简答题】

[6/518]已知动点P到定点A（0，2）的距离比它到定直线y=-4的距离小2个单位，则P的轨迹方程为（　　） A．y2=8x B．y2=4x C．y= 【图片】x...

参考答案：

C

参考解析：

无

【简答题】

[7/518]（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B...

参考答案：

（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x²=4y．（4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+

x

22

4

（k＞0），

y=k(x-x2)+

x

22

4

x2=4y

消y得x²-4kx-x₂²+4kx₂=0，
易知x₂、x₃为该方程的两个根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
从而得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)，（7分）
类似地，可设直线AB的方程为：y=-

1

k

(x-x2)+

x

22

4

，
从而得|AB|=

2

1+k2

k2

(2+kx2)，（9分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x2=

2(k3-1)

k2+k

，（11分）l=f(k)=

4

1+k2

(k2+1)

k(k+1)

（k＞0）．（13分）
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，B(

7

3

，

49

36

)，C(

17

3

，

289

36

)，A(-

13

3

，

169

36

)，所以D(-1，

409

36

)．（18分）

参考解析：

x

22

4

【简答题】

[8/518]已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x2+（y-1）2=8内切．（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．（Ⅱ）以m=(1， 2)为方向向量的直线l交...

参考答案：

（Ⅰ）依题意，点G（0，-1）在圆Q：x²+（y-1）²=8内部，
动圆与定圆相内切，且动圆在定圆内部，
∴得|MG|+|MQ|=2

2

，
可知M到两个定点G、Q的距离和为常数，并且常数大于|GQ|，所以P点的轨迹为椭圆，可以求得a=

2

，c=1，b=1，
所以曲线E的方程为x2+

y2

2

=1．…5分
（Ⅱ）假设E上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
由（Ⅰ）可知曲线E的方程为x2+

y2

2

=1．
设直线l的方程为y=

2

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=

2

x+m

x2+

y2

2

=1.

，得4x2+2

2

mx+m2-2=0，
由△＞0得m²＜4，且x1+x2=-

2

m

2

，x1x2=

m2-2

4

，…7分
则y1y2=(

2

x1+m)(

2

x2+m)=

m2-2

2

，y₁+y₂=(

2

x1+m)+(

2

x2+m)=m，E上的点P使四边形OAPB为平行四边形的充要条件是

OP

=

OA

+

OB

，
即P点的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）
且(x1+x2)2+

(y1+y2)2

2

=1，
又x12+

y12

2

=1，x22+

y22

2

=1，所以可得2x₁x₂+y₁y₂+1=0，…9分
可得m²=1，即m=1或m=-1．
当m=1时，P(-

2

，1)，直线l方程为y=

2

x+1；
当m=-1时，P(

2

，-1)，直线l方程为y=

2

x-1． 12分．

参考解析：

2

【简答题】

[9/518]如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2...

参考答案：

（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：K_AB=K_OC=3．
∴AB所在直线方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x₀，y₀），
由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，6），
∵M是线段CD的中点，∴x=

x0+1

2

，y=

y0+3

2

，
于是有x₀=2x-1，y₀=2y-3，
∵点D在线段AB上运动，
∴3x₀-y₀-9=0，（3≤x₀≤4），
∴3（2x-1）-（2y-3）-9=0
即6x-2y-9=0，（2≤x≤

5

2

）．

参考解析：

x0+12

【简答题】

[10/518]由动点P向x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，求动点P的轨迹方程．

参考答案：

∵∠APO（O为圆心）=

1

2

∠APB=30°，
∴PO=2OA=2．
∴P的轨迹是一个以原点为圆心，半径为2的圆，
轨迹方程为x²+y²=4．

参考解析：

12