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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题题库
题数
169
考试分类
高中数学>用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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简介
高中数学-用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/169]如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：P...
参考答案：
| （Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分） ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB， 又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分） （Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE， ∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）  设PE=a，则B（0，4-a，0），D（a，0，0），C（2，2-a，0）， P（0，0，a），…（7分） 可得 |
参考解析：
无
【简答题】
[2/169]长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=2，E、F分别是AB、CD的中点（1）求证：D1E⊥平面AB1F；（2）求直线AB与平...
参考答案：
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建系如图． 其中A（1，0，0），B（1，2，0），A1（1，0， |
参考解析：
【简答题】
[3/169]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．（1）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；（2）求二面角A1-EC-A的余弦值． 【图片...
参考答案：
| 以D为原点，DC为y轴，DA为x轴，DD1为Z轴建立空间直角坐标系，…（1分） 则A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），E(1，
（1）
cos＜
所以所求角的余弦值为
（2）D1D⊥平面AEC，所以
设平面A1EC法向量为
所以cos＜
|
参考解析：
12
【简答题】
[4/169]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；（2...
参考答案：
| （1）∵
|
参考解析：
无
【简答题】
[5/169]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PA...
参考答案：
| 解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5， 又AD=5，E是CD得中点， 所以CD⊥AE， PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD． 所以PA⊥CD， 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线， 所以CD⊥平面PAE． （Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF， 由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE． 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角． 由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD． 所以四边形BCDG是平行四边形， 故GD=BC=3，于是AG=2． 在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF， 所以BG= |
参考解析：
无
【简答题】
[6/169]在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥A-PCD的体积；（...
参考答案：
（1）证明：如图所示，连接BD交AC于点O． ∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD． 又AC∩BD=O． ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC． （2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA=2a是四棱锥P-ACD的高． 而S△ACD=
∴V四棱锥P-ACD=
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，2a）． 则 |
参考解析：
无
【简答题】
[7/169]如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA1=1，AB=2．（1）求证：A1C1⊥平面B...
参考答案：
（1）AA1⊥底面ABCD，所以CC1⊥A1C1…（1分）， 取A1B1的中点E，连接EC1， 则四边形A1EC1D1是正方形，∠A1C1E=
又∵B1E=C1E=1，∠B1C1E=
∴∠A1C1B1=
∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥平面BCC1B1…（5分）． （2）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示…（6分）， 则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0）， A1（1，0，1），C1（0，1，1）…（7分）， |
参考解析：
无
【简答题】
[8/169]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-...
参考答案：
（Ⅰ）连结AB1，交A1B于点O，连结OD， ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=BC=3， ∴ABB1A1是正方形，∴O是AB1的中点， ∵D是AC的中点，∴OD是△ACB1的中位线，∴OD∥B1C， ∵B1C不包含于平面A1BD，OD⊂平面A1BD， ∴B1C∥平面A1BD． （Ⅱ）以D为坐标原点，以DC为x轴，以DB为y轴， 以过D点垂直于AC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点， ∴A1（-1，0，3），B（0，2 |
参考解析：
【简答题】
[9/169]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（ I）求二面角C-DE...
参考答案：
| （I）以A为原点，
|
参考解析：
【简答题】
[10/169]如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°， 【图片】，（Ⅰ）证明：AD⊥PC；（Ⅱ）求PD与...
参考答案：
| 证明：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD知AC为PC在平面ABCD的射影， 由∠DAC=90°知，AD⊥DC， 故AD⊥PC（三垂线定理）。 |
|
| 解：（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A-xyz， 由已知可得  ，设平面PBC的法向量为  ，由  ，则  ，则PD与平面PBC所成的角为  。 |
 |
参考解析：
无
