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矩阵与变换题库
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433
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高中数学>矩阵与变换
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简介
高中数学-矩阵与变换
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章节目录
题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/433]选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分) 已知矩阵 【图片】， 【图片】，试计算： 【图片】．
参考答案：
|
参考解析：
本试题主要是考查了矩阵的运算，以及特征向量的求解的综合运用。根据矩阵
的特征多项式为
，再由
，解得
或
,分别讨论得到结论。
矩阵的特征多项式为
，
由，解得
或
， …………………………………2分
当时，对应的一个特征向量为
，
当时，对应的一个特征向量为
， ………………………………6分
从而
，……………………………………………………………8分
所以
…………………………………10分
的特征多项式为
，再由
，解得
或
,分别讨论得到结论。
矩阵
的特征多项式为
，
由
，解得
或
， …………………………………2分
当
时，对应的一个特征向量为
，
当
时，对应的一个特征向量为
， ………………………………6分
从而
，……………………………………………………………8分
所以
…………………………………10分
【简答题】
[2/433]求曲线y＝ 【图片】在矩阵 【图片】作用下变换所得的图形对应的曲线方程．
参考答案：
|
x＝
|
参考解析：
设点(x，y)是曲线y＝
上任意一点，在矩阵
的作用下点变换成(x′，y′)，则
＝
，所以
.因为点(x，y)在曲线y＝
上，所以x′＝
，即x＝
上任意一点，在矩阵
的作用下点变换成(x′，y′)，则
＝
，所以
.因为点(x，y)在曲线y＝
上，所以x′＝
，即x＝
【简答题】
[3/433]设 【图片】为二阶实系数方阵，(1)当A为转移矩阵时，试叙述实数a、b、c、d须满足的条件。(2)试证：当A为转移矩阵时，A2也是转移矩阵（式中A2代...
参考答案：
| （1）解：a、b、c、d都大于或等于0，且a+c=1，b+d=1； （2）证明：“略”。 |
参考解析：
无
【简答题】
[4/433]选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 若点A（２，２）在矩阵 【图片】对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵
参考答案：
|
由题意知，
 ，即
 ，
所以  解得
 所以
 ．………………5分
由  ，解得
 . …………………………………10分
另解：矩阵  的行列式
 ，所以
 .
|
参考解析：
无
【简答题】
[5/433]已知矩阵 【图片】 【图片】不存在逆矩阵，求实数 【图片】的值及矩阵 【图片】的特征值．
参考答案：
 ，矩阵
 的特征值为0和11．
|
参考解析：
解：由题意，矩阵
的行列式
，解得
， 4分
矩阵
的特征多项式
， 8分
令
并化简得
，
解得
或
，所以矩阵
的特征值为0和11． 10分
点评：主要是考查了矩阵的特征值以及逆矩阵的运用，属于基础题。
【简答题】
[6/433]把三阶行列式 【图片】中第1行第3列元素的代数余子式记为 【图片】，则关于 【图片】 的不等式 【图片】的解集为 &...
参考答案：
|
参考解析：
由代数余子式的定义知，
=
，由
<0得，不等式
的解集为
。
点评：小综合题，把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式叫该元素的余子式.
把余子式添上相应的符号（正号省略）叫做该元素的代数余子式。代数余子式的符号，由下标i+j的奇偶性决定:如果i+j为偶数,那么代数余子式取正号;如果i+j为奇数,那么代数余子式取负号;
【简答题】
[7/433]设 【图片】，则矩阵 【图片】的一个特征值 【图片】和对应的一个特征向量 【图片】为 A． 【图片】， 【图片】B． 【图片】， 【图片】C． 【图片...
参考答案：
|
A
|
参考解析：
根据题意，由于设
，则矩阵
的逆矩阵与矩阵A之间的关系可知，一个特征值
和对应的一个特征向量
分别是
，
，故答案为A.
点评：主要是考查了矩阵的特征向量的求解运用，属于基础题。
【简答题】
[8/433]设 M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． (1)求矩阵 M的特征值及相应的特征向量； (2)求逆矩阵 M－1以及椭圆 ...
参考答案：
|
（1）
 （2）
x
2＋
y
2＝1.
|
参考解析：
由题意
M＝
，
(1)由| M－ λE|＝0得， λ 1＝2， λ 2＝3，当 λ 1＝2，
∴ y＝0，取 x＝1；当 λ 2＝3，
∴ x＝0，取 y＝1.
所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量
，特征值3对应的特征向量
.
(2)由逆矩阵公式得： M －1＝
，
设 P( x 0， y 0)是椭圆
＝1上任意一点
P在
M
－1下对应
P′(
x，
y)，则
＝
，
∴
所以，椭圆
＝1在
M
－1的作用下的新曲线的方程为
x 2＋ y 2＝1.
，
(1)由| M－ λE|＝0得， λ 1＝2， λ 2＝3，当 λ 1＝2，
∴ y＝0，取 x＝1；当 λ 2＝3，
∴ x＝0，取 y＝1.
所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量
，特征值3对应的特征向量
.
(2)由逆矩阵公式得： M －1＝
，
设 P( x 0， y 0)是椭圆
＝1上任意一点
P在
M
－1下对应
P′(
x，
y)，则
＝
，
∴
所以，椭圆
＝1在
M
－1的作用下的新曲线的方程为
x 2＋ y 2＝1.
【简答题】
[9/433]已知矩阵 M＝ 【图片】， N＝ 【图片】，矩阵 MN对应的变换把曲线y＝ 【图片】sin 【图片】x变为曲线C，求曲线C的方程．
参考答案：
|
y＝sinx
|
参考解析：
MN＝
＝
，
设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P 0(x 0，y 0)在矩阵 MN变换下的对应点，则有
＝
，即
所以
又点P(x 0，y 0)在曲线y＝
sin
x上，故y
0＝
sin
x
0，从而
y＝
sinx.
所求曲线C的方程为y＝sinx.
＝
，
设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P 0(x 0，y 0)在矩阵 MN变换下的对应点，则有
＝
，即
所以
又点P(x 0，y 0)在曲线y＝
sin
x上，故y
0＝
sin
x
0，从而
y＝
sinx.
所求曲线C的方程为y＝sinx.
【简答题】
[10/433]直线l： xy1-101021=0的一个方向向量是______．
参考答案：
由题意可得：
直线l：2x-y+2=0斜率为：2， 所以直线2x-y+2=0的一个方向向量
故答案为：（1，2）等． |
参考解析：
| x | y | 1 |
| -1 | 0 | 1 |
| 0 | 2 | 1 |
