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高中数学>椭圆的定义
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简介
高中数学-椭圆的定义
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【简答题】
[1/2000]若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线 【图片】的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________
参考答案：
|
参考解析：
双曲线
的顶点和焦点坐标分别为（±
，0）、（±3，0）
∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，
∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）
∴a=3，b=
∴
∴椭圆C的方程是
故答案为：
的顶点和焦点坐标分别为（±
，0）、（±3，0）
∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线
的顶点和焦点，
∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±
，0）、（±3，0）
∴a=3，b=
∴
∴椭圆C的方程是
故答案为：
【简答题】
[2/2000]（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设M、N是直线l上的两个点，点E是点F关于原点的对称点，若 【图片】· 【图片】＝0， 求 | MN | 的最小...
参考答案：
|
（1）设点P（x，y） 依题意，有  ＝
整理得：  = 1
所以动点P的轨迹方程为  +
 ＝1
（2）∵点E与点F关于原点对称 ∴E(－  ，0
 )
∵M、N是l上的两点 ∴可设M(2 ，y
1) N(2
，y
2)
（不妨设，y 1＞y 2） ∵  ·
 ＝0
∴（3 ，y
1）·(
，y
2)＝0
即6 + y 1y 2＝0 ∴y 2＝－ 
由于y 1＞y 2，∴y 1＞0，y 2＜0 ∴| MN |＝y 1－y 2＝y 1 + ≥2
 ＝2
当且仅当y 1＝ ，y
2＝－
时，取“＝”号，故| MN |的最小值为2
|
参考解析：
略
【简答题】
[3/2000]在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C 1: 【图片】+ 【图片】=1(a>b>0)的左焦点为F 1(-1,0),且点P(0,1)在C 1上...
参考答案：
|
（1）
 +y
2=1 （2）y=
 x+
 或y=-
x-
|
参考解析：
解:(1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(-1,0),
所以c=1.
将点P(0,1)代入椭圆方程
+
=1,
得
=1,即b=1.
所以a 2=b 2+c 2=2.
所以椭圆C 1的方程为
+y
2=1.
(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,
设直线l的方程为y=kx+m,
由
消去y并整理得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2=0.
因为直线l与椭圆C 1相切,
所以Δ 1=16k 2m 2-4(1+2k 2)(2m 2-2)=0.
整理得2k 2-m 2+1=0.①
由
消去y并整理得k
2x
2+(2km-4)x+m
2=0.
因为直线l与抛物线C 2相切,
所以Δ 2=(2km-4) 2-4k 2m 2=0,
整理得km=1.②
综合①②,解得
或
所以直线l的方程为y=
x+
或y=-
x-
.
【简答题】
[4/2000]如果方程 【图片】表示焦点在 【图片】轴上的椭圆，则实数 【图片】的取值范围是( ) A． 【图片】B． 【图片】...
参考答案：
|
D
|
参考解析：
本试题主要是考查了椭圆的方程的运用。因为方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则
>a+6>0,则实数
的取值范围是
或
，选D.
解决该试题的关键是对于椭圆的定位，看分母哪个大，对应的轴在分子表示的那个轴上。
表示焦点在
轴上的椭圆，则
>a+6>0,则实数
的取值范围是
或
，选D.
解决该试题的关键是对于椭圆的定位，看分母哪个大，对应的轴在分子表示的那个轴上。
【简答题】
[5/2000]动点 A到定点 【图片】和 【图片】的距离的和为4，则动点 A的轨迹为 ( ) A．椭圆B．线段C．无...
参考答案：
|
B
|
参考解析：
解：因为动点
A到定点
和
的距离的和为4，并且定值4为两定点的距离，因此轨迹方程为线段
,选B
和
的距离的和为4，并且定值4为两定点的距离，因此轨迹方程为线段
,选B
【简答题】
[6/2000]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭...
参考答案：
|
（1）见解析（2）椭圆方程为
 ＋y
2＝1.P点坐标为
|
参考解析：
(1)证明：设椭圆方程为
＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T
.
AT：
＝1②，BF：
＝1③，解得交点C
，代入①得
＝
＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T
三点共线．
(2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.
∵
＝3
，CE＝
b，EF＝
c，则C
，代入①得
＝1，∴a
2＝2c
2，b
2＝c
2.设P(x
0，y
0)，则x
0＋2
＝2c
2.此时C
，AC＝
c，S
△ABC＝
·2c·
＝
c
2，
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝
，
S △APC＝d·AC＝
·
·
c＝
·c.只须求x
0＋2y
0的最大值，
(解法1)∵(x 0＋2y 0) 2＝
＋4
＋2·2x
0y
0≤
＋4
＋2(
＋
)＝3(
＋2
)＝6c
2，∴x
0＋2y
0≤
c.当且仅当x
0＝y
0＝
c时，(x
0＋2y
0)
max＝
c.
(解法2)令x 0＋2y 0＝t，代入＋2
＝2c
2得(t－2y
0)
2＋2
－2c
2＝0，即6
－4ty
0＋t
2－2c
2＝0.Δ＝(－4t)
2－24(t
2－2c
2)≥0，得t≤
c.当t＝
c，代入原方程解得x
0＝y
0＝
c.
∴四边形的面积最大值为
c
2＋
c
2＝
c
2＝
，∴c
2＝1，a
2＝2，b
2＝1，此时椭圆方程为
＋y
2＝1.P点坐标为
.
＝1(a＞b＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T
.
AT：
＝1②，BF：
＝1③，解得交点C
，代入①得
＝
＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T
三点共线．
(2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，则△OBF∽△ECF.
∵
＝3
，CE＝
b，EF＝
c，则C
，代入①得
＝1，∴a
2＝2c
2，b
2＝c
2.设P(x
0，y
0)，则x
0＋2
＝2c
2.此时C
，AC＝
c，S
△ABC＝
·2c·
＝
c
2，
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝
，
S △APC＝
d·AC＝
·
·
c＝
·c.只须求x
0＋2y
0的最大值，
(解法1)∵(x 0＋2y 0) 2＝
＋4
＋2·2x
0y
0≤
＋4
＋2(
＋
)＝3(
＋2
)＝6c
2，∴x
0＋2y
0≤
c.当且仅当x
0＝y
0＝
c时，(x
0＋2y
0)
max＝
c.
(解法2)令x 0＋2y 0＝t，代入
＋2
＝2c
2得(t－2y
0)
2＋2
－2c
2＝0，即6
－4ty
0＋t
2－2c
2＝0.Δ＝(－4t)
2－24(t
2－2c
2)≥0，得t≤
c.当t＝
c，代入原方程解得x
0＝y
0＝
c.
∴四边形的面积最大值为
c
2＋
c
2＝
c
2＝
，∴c
2＝1，a
2＝2，b
2＝1，此时椭圆方程为
＋y
2＝1.P点坐标为
.
【简答题】
[7/2000]P是椭圆 【图片】上的点，F 1、F 2是两个焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差是_____
参考答案：
|
5
|
参考解析：
分析：由题意，设|PF 1|=x，故有|PF 1|?|PF 2|=x（6-x）=-x 2+6x=-（x-3） 2+9，
其中3-
≤x≤3+
。根据 函数y=-x
2+6x在（3-
，3）上单调递增，(3，3+
)上单调递减，可求y=-x
2+6x的最小值与最大值，从而可求|PF
1|?|PF
2|的最大值和最小值之差。
解答：
由题意，设|PF 1|=x，
∵|PF 1|+|PF 2|=2a=6，
∴|PF 2|=6-x
∴|PF 1|?|PF 2|=x（6-x）=-x 2+6x=-（x-3） 2+9
∵椭圆c=
，a=3
∴3-
≤x≤3+
∵函数y=-x 2+6x在（3-
，3）上单调递增，(3，3+
)上单调递减，
∴x=3-
时，y=-x
2+6x取最小值(3-
)(3+
)=4，
x=3时，y=-x 2+6x取最大值为9，
∴|PF 1|?|PF 2|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为：5
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题。
【简答题】
[8/2000]如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦 【图片】点 F1、 F2在 x轴上，长轴 A1A2的长为4，左准线 l与 x轴的交点为 M， 【图片】∶ 【图片】...
参考答案：
|
(1) 由已知得2
a = 4，∴
a = 2
 ∴
 又∵
a = 2
∴ c = 1或 c = 2（舍去） ∴ 
∴ 椭圆方程为 
(2) 设 P（– 4， y）（ y > 0）  ∵
F
1（– 1，0），
F
2（1，0）
∴ 
∴ 
∴  的最大值为
|
参考解析：
无
【简答题】
[9/2000]（本题满分15分）如图，点 【图片】为圆形纸片内不同于圆心 【图片】的定点，动点 【图片】在圆周上，将纸片折起，使点 【图片】与点 【图片】重合，设折...
参考答案：
|
（本题满分15分）
解：（1）连结NA, 由题意知，直线m是线段MA的中垂线， 
∴NA="NM," 而圆C的半径为  ……………………2分
∴NC+NA=NC+NM=CM= (常数)
∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数 ，
所以，点N的轨迹是以定点C, A为焦点，长轴长为 的椭圆
……………………4分 当  时，由于
 ，所以所求椭圆E的方程为
……………………6分 （2）椭圆E的方程为  ，其上顶点B
所以，直线  的方程为
 ， ……………………8分
记点  关于直线
的对称点
则有  ， 解得：
 ……………………11分；
由  ，得
 ， ……………………12分
∴  ，令
 ，因为
 则
 ，
∴  ，∴
 ， ……………………14分
所以，点  的纵坐标的取值范围是
 ……………………15分
|
参考解析：
无
【简答题】
[10/2000]定义:关于x的不等式|x-A|<B的解集叫A的B邻域. 已知a+b-2的a+b邻域为区间(-2,8),其中a、b分别为椭圆 【图片】+ 【图片】...
参考答案：
|
B
|
参考解析：
由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b的解集是(-2,8),
∴2a+2b-2=8,即a+b=5. ①
又抛物线y 2=4
x的焦点为(
,0),
∴椭圆的焦点在x轴上,且c=,
即a 2-b 2=5. ②
联立①②可得a=3,b=2,
∴椭圆标准方程为
+
=1.
∴2a+2b-2=8,即a+b=5. ①
又抛物线y 2=4
x的焦点为(
,0),
∴椭圆的焦点在x轴上,且c=
,
即a 2-b 2=5. ②
联立①②可得a=3,b=2,
∴椭圆标准方程为
+
=1.
