本试题主要是考查了立体几何中线面平行和线面垂直的判定定理的运用，以及棱锥的体积公式计算的综合问题。
（1）因为 ，结合线面平行的判定定理得到结论。
（2）根据在直角梯形 中，过 作 于点 ，
则四边形 为矩形，∴ ，进而分析得到 是解决该试题的关键，
（3）∵ 是 中点，∴ 到面 的距离是 到面 距离的一半，那么利用底面积和高得到体积。
证明：（Ⅰ） …………… 1分
又 平面    …………… 2分
平面      …………… 3分
∴ ∥平面       …………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形 中，过 作 于点 ，
则四边形 为矩形，∴  ………… 5分
又 ，∴ ,在 中， ∴  ，∴
则 ，  ∴  ………… 7分
又 平面  ， ∴           ………… 8分
    ∴ 平面     …………… 9分
（Ⅲ）∵ 是 中点，∴ 到面 的距离是 到面 距离的一半……… 10分
…………… 12分 

略

略

略

长方体的三条棱长分别为 ， ， ，
则截出的棱锥的体积为 ．
剩下的几何体的体积 ，所以， ．

如图，

设球心为 ， 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为 ， 为小圆 的一条直径，设球的半径为 ，则 ，∴ 中， ， ， ．根据勾股定理，得 ，即 ，解之得 ，∴该球表面积为 ，故选A．

（1）根据四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，知高为PC="2." 应用体积计算公式即得；
(2)连结AC，根据ABCD是正方形，得到BD⊥AC ，由PC⊥底面ABCD 得到BD⊥PC，推出BD⊥平面PAC；由于不论点E在何位置，都有AE 平面PAC，故得BD⊥AE；
（3）设 相交于 ，连 ,可知 是二面角P-BD-C的的一个平面角，计算其正切即得二面角P-BD-C的正切值.
（1）该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2."
∴            4分
(2)连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且 平面 　∴BD⊥PC
又∵ ∴BD⊥平面PAC　
∵不论点E在何位置，都有AE 平面PAC 
∴BD⊥AE           8分

（3）设 相交于 ，连 ,由四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD知， 是二面角P-BD-C的的一个平面角， ,即二面角P-BD-C的正切值为 .