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圆锥曲线综合题库
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2000
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高中数学>圆锥曲线综合
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简介
高中数学-圆锥曲线综合
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题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/2000]已知点M是曲线C上任一点，点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（0，2）的直线L交曲线C于A、B两点，若以...
参考答案：
| （1）∵点M到点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1， ∴点M到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离， ∴点M的轨迹是以F（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线， ∴曲线C的方程为：y2=4x． （2）设直线l的方程为y=kx+2（k≠0）， A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 |
参考解析：
无
【简答题】
[2/2000]若双曲线的渐近线方程为 【图片】，它的一个焦点是 【图片】，则双曲线的标准方程是 &nbs...
参考答案：
|
参考解析：
因为，双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，所以焦点在x轴上，c=
，
，
，解得，a=1，b=3，双曲线的标准方程是
。
点评：简单题，涉及求双曲线标准方程问题，往往利用a，b，c，e的关系，建立方程组。
【简答题】
[3/2000]已知中心在原点的双曲线C的离心率为2
参考答案：
（1）∵
|
参考解析：
无
【简答题】
[4/2000]如图，已知抛物线 【图片】： 【图片】和⊙ 【图片】： 【图片】，过抛物线 【图片】上一点 【图片】作两条直线与⊙ 【图片】相切于 【图片】、 【图片...
参考答案：
|
（1）
 ；（2）
 ；（3）
 ﹒
|
参考解析：
（1）由题意知圆心
的坐标为
，半径为1，抛物线
的准线方程为
，因为圆心
到抛物线准线的距离为
，所以有
，解得
，从而求出抛物线方程为
.
（2）由题意可知，直线
轴，可求出点
的坐标为
，此时直线
与
的倾斜角互补，即
，又设点
、
的坐标分别为
、
，则
，
，所以有
，即
，整理得
，所以
.
（3）由题意可设点
、
的坐标分别为
、
，则
，
，因为
、
是圆
的切线，所以
、
，因此
，
，由点斜式可求出直线
、
的直线方程分别为
、
，又点
在抛物线上，有
，所以点
的坐标为
，代入直线
、
的方程得
、
，可整理为
、
，从而可求得直线
的方程为
，令
，得直线
在
上的截距为
，考虑到函数
为单调递增函数，所以
.
（1）∵点
到抛物线准线的距离为
，
∴
，即抛物线
的方程为
． 2分
（2）法一：∵当
的角平分线垂直
轴时，点
，∴
，
设
，
，
∴
， ∴
，
∴
．
． 7分
法二：∵当
的角平分线垂直
轴时，点
，∴
，可得
，
，∴直线
的方程为
，
联立方程组
，得
，
∵
∴
，
．
同理可得
，
，∴
． 7分
（3）法一：设
，∵
，∴
，
可得，直线
的方程为
，
同理，直线
的方程为
，
∴
，
，
∴直线
的方程为
，
令
，可得
，
∵
关于
的函数在
单调递增， ∴
． 14分
法二：设点
，
，
．
以
为圆心，
为半径的圆方程为
，①
⊙
方程：
．②
①-②得：
直线
的方程为
．
当
时，直线
在
轴上的截距
，
∵
关于
的函数在
单调递增， ∴
． 14分
【简答题】
[5/2000]椭圆 【图片】的左右焦点分别为 【图片】，P为椭圆上一点，且 【图片】，则 【图片】椭圆的离心率e=________
参考答案：
|
参考解析：
略
【简答题】
[6/2000]已知 【图片】是抛物线 【图片】的焦点，过 【图片】且斜率为 【图片】的直线交 【图片】于 【图片】两点．设 【图片】< 【图片】,若 【图片】...
参考答案：
|
参考解析：
因为根据已知抛物线的 方程为
，其焦点为（1,0）过焦点的斜率为
的直线方程可知设出来，联立方程组，然后借助于向量的关系式和长度的关系，可知
的值为
，故答案为
。
，其焦点为（1,0）过焦点的斜率为
的直线方程可知设出来，联立方程组，然后借助于向量的关系式和长度的关系，可知
的值为
，故答案为
。
【简答题】
[7/2000]（满分12分）直线 l 与抛物线 y2 = 4 x 交于两点 A、 B， O 为原点，且 【图片】= －4． (I) ...
参考答案：
|
(Ⅰ)见解析
(Ⅱ) kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]． (Ⅲ)见解析 |
参考解析：
(I) 1°若直线
l 与
x 轴不垂直，
设其方程为 y = kx + b， l 与抛物线 y 2 = 4 x 的交点坐标分别为 A( x 1, y 1)、 B( x 2, y 2)，
由·= －4 得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = －4，即+ y 1 y 2 = －4，
则 y 1 y 2 = －8． 1分
又由得 ky 2－4 y + 4 b =" 0" ( k≠ 0)．
则 y 1 y 2 = = －8，即 b = －2 k， 2分]
则直线 l 的方程为 y = k ( x－2)，则直线 l 过定点 (2, 0)． 3分
2°若直线 l⊥ x 轴，易得 x 1 = x 2 = 2，则 l 也过定点 (2, 0)．
综上，直线 l 恒过定点 (2, 0)． 4分
(II) 由 (I) 得 | AB | 2 =" (1" + )( y 2－ y 1) 2 = ( + 32) 6分
从而 6 ≤( + 2) ≤ 30． 7分
解得 kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]． 8分
(III) 假定
θ =
p，则有cos
θ = －，
如图，即= － (*) 9分
由 (I) 得 y 1 y 2 = －8， x 1 x 2 = = 4．
由定义得 | AF | = x 1 + 1，| BF | = x 2 + 1．
从而有 | AF | 2 + | BF | 2－| AB | 2 = ( x 1 + 1) 2 + ( x 2 + 1) 2－( x 1－ x 2) 2－( y 1－ y 2) 2
= －2 ( x 1 + x 2)－6， 12分
| AF |·| BF | = ( x 1 + 1) ( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1 = x 1 + x 2 + 5
将代入 (*) 得= －，即 x 1 + x 2 + 1 = 0．
这与 x 1 > 0 且 x 2 > 0 相矛盾！ 13分
经检验，当 AB⊥ x 轴时， θ =" 2" arctan 2> p．
综上， θ≠ p． 14分
设其方程为 y = kx + b， l 与抛物线 y 2 = 4 x 的交点坐标分别为 A( x 1, y 1)、 B( x 2, y 2)，
由·= －4 得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = －4，即+ y 1 y 2 = －4，
则 y 1 y 2 = －8． 1分
又由得 ky 2－4 y + 4 b =" 0" ( k≠ 0)．
则 y 1 y 2 = = －8，即 b = －2 k， 2分]
则直线 l 的方程为 y = k ( x－2)，则直线 l 过定点 (2, 0)． 3分
2°若直线 l⊥ x 轴，易得 x 1 = x 2 = 2，则 l 也过定点 (2, 0)．
综上，直线 l 恒过定点 (2, 0)． 4分
(II) 由 (I) 得 | AB | 2 =" (1" + )( y 2－ y 1) 2 = ( + 32) 6分
从而 6 ≤( + 2) ≤ 30． 7分
解得 kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]． 8分
(III) 假定
θ =
p，则有cos
θ = －，
如图，即= － (*) 9分
由 (I) 得 y 1 y 2 = －8， x 1 x 2 = = 4．
由定义得 | AF | = x 1 + 1，| BF | = x 2 + 1．
从而有 | AF | 2 + | BF | 2－| AB | 2 = ( x 1 + 1) 2 + ( x 2 + 1) 2－( x 1－ x 2) 2－( y 1－ y 2) 2
= －2 ( x 1 + x 2)－6， 12分
| AF |·| BF | = ( x 1 + 1) ( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1 = x 1 + x 2 + 5
将代入 (*) 得= －，即 x 1 + x 2 + 1 = 0．
这与 x 1 > 0 且 x 2 > 0 相矛盾！ 13分
经检验，当 AB⊥ x 轴时， θ =" 2" arctan 2> p．
综上， θ≠ p． 14分
【简答题】
[8/2000]抛物线的顶点在原点，以 【图片】轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 【图片】的直线，被抛物线所截得的弦长为 【图片】，试求抛物线方程．
参考答案：
|
参考解析：
如图所示，设抛物线方程为
，则直线方程为
．
设直线交抛物线于
，
，
由定义得
，
即
． ①
由
消去
，得
，
．代入①得
．
所求抛物线的方程为
．
当抛物线的方程为
时，同理可求得
．
故所求抛物线的方程为
．
，则直线方程为
．
设直线交抛物线于
，
，
由定义得
，
即
． ①
由
消去
，得
，
．代入①得
．
所求抛物线的方程为
．
当抛物线的方程为
时，同理可求得
．
故所求抛物线的方程为
．
【简答题】
[9/2000]（本小题满分12分）已知椭圆 【图片】: 【图片】的离心率 【图片】，过点 【图片】的直线 【图片】与椭圆 【图片】交于 【图片】两点，且 【图片】，...
参考答案：
|
参考解析：
：设椭圆的方程为
直线
的方程为
，
，则椭圆方程可化为
即
，联立
得
（*）
有
而由已知
有
，代入得
所以
，
当且仅当
时取等号由
得
，将
代入（*）式得
所以
面积的最大值为
，取得最大值时椭圆的方程为
直线
的方程为
，
，则椭圆方程可化为
即
，联立
得
（*）
有
而由已知
有
，代入得
所以
，
当且仅当
时取等号由
得
，将
代入（*）式得
所以
面积的最大值为
，取得最大值时椭圆的方程为
【简答题】
[10/2000]设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于（ ） A．12...
参考答案：
| 依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t， 若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=
则e=
若曲线为双曲线则，2a=4t-2t=2t，a=t，c=
∴e=
故选A |
参考解析：
无
