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异面直线所成的角题库
题数
987
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高中数学>异面直线所成的角
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简介
高中数学-异面直线所成的角
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题目预览(可预览10题)
【简答题】
[1/987]如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=...
参考答案：
解：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=，
∴OD=OC=1，BO=AO=2，
以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）。
（1）∵，
∴
∴
故直线PD与BC所成角的余弦值为。
（2）设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z）
由于
得
令x=1，则y=1，z=
∴n=（1，1，）
又易知平面ABCD的一个法向量m=（0，0，1），
∴cos〈m，n〉=
又二面角P-AB-C是锐角，
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°。
（3）设M（x0，0，z0），由于P、M、C三点共线，
∴ ①
∵PC⊥平面BMD，
∴OM⊥PC
∴（-1，0，-）·（x0，0，z0）=0
∴ ②
由①②知
∴
∴=2
故λ=2时，PC⊥平面BMD。
参考解析：
无
【简答题】
[2/987]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是（  &...
参考答案：
参考解析：
无
【简答题】
[3/987]若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 【图片】,则 【图片】=_____．
参考答案：
60°
参考解析：
无
【简答题】
[4/987]空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝ 【图片】，则异面直线AD,BC所成的角为(  &nbs...
参考答案：
B
参考解析：

设G为AC的中点，由已知中AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝
，根据三角形中位线定理，我们易求出∠EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补角），解三角形EGF即可得到答案.
【简答题】
[5/987]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角...
参考答案：

魔方格
（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），
B1（2，0，2），C1（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
则
DB1
=（1，0，2），
CD
=（1，-4，0）
设平面B1DC的法向量为
n1
=（x，y，z），则
n1
•
DB1
=0
n1
•
CD
=0
，即
x+2z=0
x-4y=0

取y=1，得
n1
=（4，1，-2），…（3分）
∵
AC1
=（0，4，2），
∴
n1
•
AC1
=0 ，
∴
n1
⊥
AC1
，
∴AC1∥平面B1DC；．…（4分）
（Ⅱ）设平面BDC的法向量
n2
=（0，0，1），二面角B1-DC-B的大小为θ，
则cosθ=|cos＜
n1
，
n2
＞=|
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
|=
2
21
×1
=
2
21
21
，
所以二面角B1-DC-B的余弦值为
2
21
21
．…（8分）
（Ⅲ）假设线段A1C1上存在点E（0，y，2），（0＜y＜4），则
CE
=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜
CE
，
DB1
＞|=|
CE
•
DB1
|
CE
||
DB1
|
|，…（10分）
∴cos60°=
4
(y-4)2+4
×
5
，
整理得5y2-40y+36=0，∴y=4±
2
55
5

∵0＜y＜4，∴y=4-
2
55
5
，…（12分）
∴
CE
=（0，-
2
55
5
，2），
∴|
CE
|=
(-
2
55
5
)2+22
=
8
5
5
．…（13分）
参考解析：
D B1
【简答题】
[6/987]如图，若平面α⊥β，α∩β=CD，A∈α、B∈β，直线AB与α、β所成的角分别是30°、60°，则直线AB与CD所成角的大小为（　　） A．60°B．...
参考答案：
如图作BF⊥CD，AE⊥CD，AG∥EF，AG=EF，连接BE，FG，AF
魔方格

∵平面α⊥β，∴AE⊥α，BF⊥β
∵直线AB与α、β所成的角分别是30°、60°
∴∠ABE=30°，∠BAF=60°，
设AB=2，则AE=1，AF=1，
∵△AEF为直角三角形，
∴E、F两点重合
∴CD⊥平面ABE（F），AB⊂平面ABE（F），
∴CD⊥AB
即线AB与CD所成角的大小为90°
故选D
参考解析：
无
【简答题】
[7/987]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是（   ...
参考答案：
90°
参考解析：
无
【简答题】
[8/987]长方体 【图片】中， 【图片】则 【图片】所成的角的大小是 A． 【图片】B． 【图片】C． 【图片】D． 【图片】
参考答案：
A
参考解析：

连接 是 所成的角，
所成的角的大小是
点评：斜线在平面上的射影与斜线所构成的夹角是斜线与平面所成的角，角的范围值
【简答题】
[9/987]如图,在长方体 【图片】中, 【图片】点 【图片】在棱 【图片】上. 【图片】 (1)求异面直线 【图片】与 【图片】所成的角； (2)若二面角 【图...
参考答案：
（1）对于异面直线的所成的角，一般采用平移法，平移到一个三角形中，借助于余弦定理求解。
（2）
参考解析：

解法一:(1)连结 .由 是正方形知 .
∵ 平面 ,
∴ 是 在平面 内的射影.
根据三垂线定理得 ,
则异面直线 与 所成的角为 . 5分
(2)作 ,垂足为 ,连结 ,则 .
所以 为二面角 的平面角, .于是 ,
易得 ,所以 ,又 ,所以 .
设点 到平面 的距离为 ,则由于 即 ,
因此有 ,即 ,∴ .…………12分
解法二:如图,分别以 为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系.

(1)由 ,得 ,
设 ,又 ,则 .
∵ ∴ ,则异面直线 与 所成的角为 . 5分
(2) 为面 的法向量,设 为面 的法向量,则
,
∴ .      ①
由 ,得 ,则 ,即 ,∴
②由①、②,可取 ,又 ,
所以点 到平面 的距离 . 12分
点评：考查了异面直线所成的角以及点到面的距离的求解，属于基础题。
【简答题】
[10/987]如图，几何体 【图片】中，四边形 【图片】为菱形， 【图片】， 【图片】，面 【图片】∥面 【图片】, 【图片】、 【图片】、 【图片】都垂直于面 【...
参考答案：
（1）几何体 的体积为 ；（2）详见试题解析；（3）二面角 的大小为 ．
参考解析：


（1）将几何体 补成如图的直四棱柱 ，利用 计算几何体 的体积；（2）详见试题解析；（3）取 的中点 ，因为 分别为 的中点，所以 ∥ ，以 分别为 轴建立坐标系，利用法向量求二面角 的大小．
（1）将几何体 补成如图的直四棱柱 ，则         3分

（2）连接 ，交 于 ，因为四边形 为菱形， ，所以 ．因为 、 都垂直于面 , ，又面 ∥面 ，所以四边形 为平行四边形，则 ，因为 、 、 都垂直于面 ,则 ， 所以 ，所以 为等腰直角三角形．           7分
（3）取 的中点 ，因为 分别为 的中点，所以 ∥ ，以 分别为 轴建立坐标系，则 ，所以 ． 平面 为的 中点， 平面 ．由 知二面角 的大小为 ． 二面角 的大小为 ．
12分
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