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简介

高中数学-反函数

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【简答题】

[1/900]函数f（x）=x2+1（x≤0）的反函数f-1（x）=______．

参考答案：

函数f（x）=x²+1（x≤0）可得x²=y-1，y≥1
x=-

y-1

，y≥1 把x，y 互换，
可得函数的反函数f^-1（x）=-

x-1

(x≥1)
故答案为：-

x-1

(x≥1)

参考解析：

y-1

【简答题】

[2/900]为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）首先选取如下函数：y=2x+1，y= 2xx+1，y...

参考答案：

（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．
（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，
由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，
则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，
且b=f（a），a=f（a），
若a＞b时，交点显然在y=x上．
若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；
若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；
若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；
若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．
综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．

参考解析：

无

【简答题】

[3/900]记函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x）．如果函数y=f（x）的图象过点（1，0），那么函数y=f-1（x）+1的图象过点______．

参考答案：

∵y=f（x）的图象过点（1，0），
∴其反函数y=f^-1（x）必过点（0，1），即f^-1（0）=1，
∴y=f^-1（x）+1的图象过点（0，2）．
故答案为：（0，2）．

参考解析：

无

【简答题】

[4/900]已知函数【图片】．（1）用定义证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，求函数m=f﹣1...

参考答案：

证明：（1）任取x₁＜x₂，则
，
∵x₁＜x₂，
∴，
∴，
∴f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增.
（2）∵，
∴m=f^﹣1（x）﹣f（x）=
=，
当1≤x≤2时，，
∴，
∴m的取值范围是．